Точки М и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответстве 9 и 20 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки М1 и касающейся луча АВ, если cos∠BAC = √5

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях AM = 9 и AN = 20 от вершины A.

Найти радиус окружности, проходящей через точки M, N и касающейся луча AB, если cos∠BAC = $$ \frac{\sqrt{5}}{3}$$.

Пусть O - центр окружности, проходящей через точки M, N и касающейся AB в точке K.

Тогда OK перпендикулярно AB, и OK = R (радиус окружности).

∠BAC = α, cos α = $$ \frac{\sqrt{5}}{3}$$, sin α = $$ \sqrt{1 - cos^2 α} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$$.

По теореме об отрезках касательной и секущей:

$$AK^2 = AM \cdot AN = 9 \cdot 20 = 180$$

$$AK = \sqrt{180} = 6 \sqrt{5}$$

Пусть P - середина MN, тогда AP = (AM+AN)/2 = (9+20)/2 = 29/2 = 14,5.

MN = AN - AM = 20 - 9 = 11

$$R = \frac{MN}{2sin α} = \frac{11}{2 (\frac{2}{3})} = \frac{11}{4/3} = \frac{33}{4} = 8.25$$

Ответ: R = 8.25