12. Точка К – середина боковой стороны CD трапеции АВСD. Докажите, что площадь треугольника КАВ равна половине площади трапеции.

Пусть ABCD - данная трапеция, K - середина CD. Докажем, что площадь треугольника KAB равна половине площади трапеции ABCD.

Обозначим основания трапеции BC = a, AD = b, высоту трапеции h.

Площадь трапеции ABCD равна S = $$\frac{a+b}{2} \cdot h$$

Проведем высоту трапеции BH и KE. KE - средняя линия треугольника CHD, следовательно KE = $$\frac{BH}{2} = \frac{h}{2}$$

Площадь трапеции KBCS равна S = $$\frac{a+b_1}{2} \cdot \frac{h}{2}$$, где $$b_1$$ проекция BK на основание. Площадь трапеции KESD равна S = $$\frac{b_2+b}{2} \cdot \frac{h}{2}$$ , где $$b_2$$ проекция AK на основание.

Т.к. $$b_1+b_2=b$$, то S = $$\frac{a+b}{2} \cdot h$$. Площадь треунольника KAB равна половине площади трапеции.

Ответ: Доказано