Треугольник ABC равнобедренный ВС=АВ=15, ВН - биссектриса, ВН=9. Найдите радиус описанной окружности около треугольника АВС.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, биссектриса BH, проведенная к основанию, также является медианой и высотой. Следовательно, BH ⊥ AC и AH = HC.

В прямоугольном треугольнике BHC:

По теореме Пифагора найдем HC:

\[ BC^2 = BH^2 + HC^2 \]

\[ 15^2 = 9^2 + HC^2 \]

\[ 225 = 81 + HC^2 \]

\[ HC^2 = 225 - 81 = 144 \]

\[ HC = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \]

Так как BH - медиана, то AC = 2 * HC = 2 * 12 = 24 см.

Радиус описанной окружности (R) для любого треугольника можно найти по формуле:

\[ R = \frac{abc}{4S} \]

где a, b, c - стороны треугольника, S - его площадь.

Площадь треугольника ABC (S):

\[ S = \frac{1}{2} \times AC \times BH = \frac{1}{2} \times 24 \times 9 = 12 \times 9 = 108 \text{ см}^2 \]

Теперь найдем радиус R:

\[ R = \frac{AB \times BC \times AC}{4S} = \frac{15 \times 15 \times 24}{4 \times 108} \]

\[ R = \frac{5400}{432} \]

Сократим дробь:

\[ R = \frac{2700}{216} = \frac{1350}{108} = \frac{675}{54} = \frac{225}{18} = \frac{25}{2} = 12.5 \text{ см} \]

Ответ: 12.5 см