В треугольнике АВС СН - высота. В треугольник АСН вписана окружность с центром в точке О1 и радиусом r1, а в треугольник ВСН вписана окружность с центром в точке О2 и радиусом r2. Найдите площадь прямоугольном треугольнике АВС, если CH=24, r1=3, r2=6.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, CH - высота. Это значит, что у нас есть два подобных прямоугольных треугольника: ACH и CBH, которые, в свою очередь, подобны исходному треугольнику ABC.

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник вычисляется по формуле:

\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]

где a и b - катеты, а c - гипотенуза.

Для треугольника ACH:

Катеты: AH и CH. Гипотенуза: AC.

Радиус r1 = 3.

\[ r1 = \frac{AH + CH - AC}{2} \]

\[ 3 = \frac{AH + 24 - AC}{2} \]

\[ 6 = AH + 24 - AC \]

\[ AC = AH + 18 \]

По теореме Пифагора для треугольника ACH:

\[ AC^2 = AH^2 + CH^2 \]

\[ (AH + 18)^2 = AH^2 + 24^2 \]

\[ AH^2 + 36AH + 324 = AH^2 + 576 \]

\[ 36AH = 576 - 324 \]

\[ 36AH = 252 \]

\[ AH = \frac{252}{36} = 7 \text{ см} \]

Теперь найдем AC:

\[ AC = AH + 18 = 7 + 18 = 25 \text{ см} \]

Для треугольника CBH:

Катеты: BH (назовем его x) и CH. Гипотенуза: BC.

Радиус r2 = 6.

\[ r2 = \frac{BH + CH - BC}{2} \]

\[ 6 = \frac{x + 24 - BC}{2} \]

\[ 12 = x + 24 - BC \]

\[ BC = x + 12 \]

По теореме Пифагора для треугольника CBH:

\[ BC^2 = BH^2 + CH^2 \]

\[ (x + 12)^2 = x^2 + 24^2 \]

\[ x^2 + 24x + 144 = x^2 + 576 \]

\[ 24x = 576 - 144 \]

\[ 24x = 432 \]

\[ x = \frac{432}{24} = 18 \text{ см} \]

Значит, BH = 18 см.

Теперь найдем BC:

\[ BC = x + 12 = 18 + 12 = 30 \text{ см} \]

Площадь прямоугольного треугольника ABC равна:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC \]

В прямоугольном треугольнике ABC, AB = AH + BH = 7 + 18 = 25 см.

Значит,

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times 25 \times 30 = 25 \times 15 = 375 \text{ см}^2 \]

Ответ: 375 см²