В треугольнике ABC вписана окружность с центром в точке О, LABO=21°, LACO = 33°. Найдите LAOC.

Решение:

В треугольнике ABC, AO, BO, CO — биссектрисы углов A, B, C соответственно, так как O — центр вписанной окружности.

Пусть $$\angle OAB = \angle OAC = \alpha$$, $$\angle OBA = \angle OBC = \beta$$, $$\angle OCA = \angle OCB = \gamma$$.

Из условия нам дано:

$$\angle ABO = \beta = 21^{\circ}$$

$$\angle ACO = \gamma = 33^{\circ}$$

В треугольнике ABO:

$$\angle AOB = 180^{\circ} - \angle OAB - \angle OBA = 180^{\circ} - \alpha - 21^{\circ}$$

В треугольнике ACO:

$$\angle AOC = 180^{\circ} - \angle OAC - \angle OCA = 180^{\circ} - \alpha - 33^{\circ}$$

В треугольнике BCO:

$$\angle BOC = 180^{\circ} - \angle OBC - \angle OCB = 180^{\circ} - \beta - \gamma = 180^{\circ} - 21^{\circ} - 33^{\circ} = 180^{\circ} - 54^{\circ} = 126^{\circ}$$

Сумма углов треугольника ABC равна 180°:

$$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ}$$

$$( \angle OAB + \angle OAC ) + ( \angle OBA + \angle OBC ) + ( \angle OCA + \angle OCB ) = 180^{\circ}$$

$$( \alpha + \alpha ) + ( \beta + \beta ) + ( \gamma + \gamma ) = 180^{\circ}$$

$$2\alpha + 2\beta + 2\gamma = 180^{\circ}$$

$$\alpha + \beta + \gamma = 90^{\circ}$$

Подставляем известные значения $$\beta$$ и $$\gamma$$:

$$\alpha + 21^{\circ} + 33^{\circ} = 90^{\circ}$$

$$\alpha + 54^{\circ} = 90^{\circ}$$

$$\alpha = 90^{\circ} - 54^{\circ} = 36^{\circ}$$

Теперь мы можем найти $$\angle AOC$$:

$$\angle AOC = 180^{\circ} - \alpha - \gamma = 180^{\circ} - 36^{\circ} - 33^{\circ} = 180^{\circ} - 69^{\circ} = 111^{\circ}$$

Ответ: 111°