9. Треугольник MNK задан координатами своих вершин: М (- 6; 1), N (2; 4), K (2; -2). а) Докажите, что ΔMNK- равнобедренный; б) Найдите высоту, проведённую из вершины М.

а) Чтобы доказать, что треугольник MNK равнобедренный, нужно показать, что две его стороны равны. Найдем длины сторон MN, NK и MK:

1. $$MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$$.
2. $$NK = \sqrt{(x_K - x_N)^2 + (y_K - y_N)^2} = \sqrt{(2 - 2)^2 + (-2 - 4)^2} = \sqrt{0^2 + (-6)^2} = \sqrt{36} = 6$$.
3. $$MK = \sqrt{(x_K - x_M)^2 + (y_K - y_M)^2} = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + (-3)^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}$$.

Так как MN = MK, то треугольник MNK равнобедренный.

б) В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Значит, высота, проведенная из вершины М, делит сторону NK пополам. Найдем координаты точки H - середины NK:

$$x_H = \frac{x_N + x_K}{2} = \frac{2 + 2}{2} = 2$$, $$y_H = \frac{y_N + y_K}{2} = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$$.

Точка H имеет координаты (2; 1). Найдем длину высоты MH:

$$MH = \sqrt{(x_H - x_M)^2 + (y_H - y_M)^2} = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = \sqrt{64} = 8$$.