25. Углы при одном из оснований трапеции равны 77° и 13°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 10. Найдите основания трапеции.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, равен полусумме оснований. Отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований, если углы при основании равны 77 и 13, то 77+13=90, значит это прямоугольная трапеция. Но так как трапеция прямоугольная, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен боковой стороне трапеции. Пусть a и b - основания трапеции, m и n - отрезки, соединяющие середины сторон трапеции. Тогда: $$\frac{a + b}{2} = 11$$ и $$\frac{|a - b|}{2} = 10$$ $$a + b = 22$$ и $$|a - b| = 20$$ Рассмотрим два случая: 1) a > b: a - b = 20. Тогда a + b = 22 и a - b = 20. Сложим уравнения: 2a = 42, a = 21. Тогда b = 22 - 21 = 1. 2) a < b: b - a = 20. Тогда a + b = 22 и b - a = 20. Сложим уравнения: 2b = 42, b = 21. Тогда a = 22 - 21 = 1. В обоих случаях основания трапеции равны 1 и 21. Ответ: 1 и 21