25. Углы при одном из оснований трапеции равны 77° и 13°, а отрезки, соединяющи середины противоположных сторон трапеции, равны 11 и 10. Найдите основали трапеции.

Обозначим трапецию ABCD, где AD и BC - основания. Углы при основании AD равны 77° и 13°.

Пусть M и N - середины боковых сторон AB и CD соответственно. MN = 11.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

Пусть K и L - середины оснований BC и AD соответственно. KL = 10.

Тогда KL = |(AD - BC)/2|.

Сумма углов при основании равна 77° + 13° = 90°.

Тогда трапеция прямоугольная.

Пусть a и b - основания трапеции.

Средняя линия трапеции равна (a + b)/2 = 11, следовательно, a + b = 22.

Расстояние между серединами оснований равно |(a - b)/2| = 10, следовательно, |a - b| = 20.

Мы имеем два варианта:

• a - b = 20. Тогда a + b = 22. Сложив уравнения, получим 2a = 42, a = 21. Тогда b = 1.
• b - a = 20. Тогда a + b = 22. Сложив уравнения, получим 2b = 42, b = 21. Тогда a = 1.

Ответ: 21 и 1