709. Угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен 60°. Найдите площадь параллелограмма, если его высоты равны 8 см и 12 см.

1. Обозначим параллелограмм ABCD, где угол B - тупой. Высоты, проведенные из вершины B, будут BH и BK. Угол между высотами HBK = 60°.

2. Угол между высотами равен углу между сторонами, поэтому угол ABC = 180° - 60° = 120°.

3. Пусть BH = 8 см и BK = 12 см. Обозначим сторону AB = x и сторону BC = y.

4. Площадь параллелограмма можно выразить двумя способами: S = AB * BH и S = BC * BK.

5. Тогда x * 8 = y * 12, откуда x = (12/8)y = (3/2)y = 1.5y.

6. Рассмотрим треугольник ABH. sin(A) = BH/AB = 8/1.5y

7. Угол A = 180 - 120 = 60°.

8. sin(60°) = $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$

9. $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{8}{1.5y}$$

10. 1. 5y * $$\sqrt{3}$$ = 16

11. y = $$\frac{16}{1.5 \sqrt{3}} = \frac{32}{3 \sqrt{3}} = \frac{32 \sqrt{3}}{9}$$

12. S = 12 * y = 12 * $$\frac{32 \sqrt{3}}{9} = \frac{4 * 32 \sqrt{3}}{3} = \frac{128 \sqrt{3}}{3}$$

Ответ: $$\frac{128 \sqrt{3}}{3}$$ $$см^2$$