Упростите выражение: 1) $\dfrac{y+6}{4y+8}-\dfrac{y+2}{4y-8}+\dfrac{5}{y^2-4}$; 2) $\dfrac{6b^3+48b}{b^3+64}-\dfrac{3b^2}{b^2-4b+16}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Упростите выражение: 1) $\dfrac{y+6}{4y+8}-\dfrac{y+2}{4y-8}+\dfrac{5}{y^2-4}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Общий знаменатель — $4(y^2-4)$; при этом $y\ne-2$, $y\ne2$:
$\dfrac{(y+6)(y-2)-(y+2)^2+20}{4(y^2-4)}$.
Раскроем скобки: $(y^2+4y-12)-(y^2+4y+4)+20=4$. Поэтому выражение равно $\dfrac{4}{4(y^2-4)}=\dfrac{1}{y^2-4}$.
Обозначим $Q=b^2-4b+16$ и разложим сумму кубов: $b^3+64=(b+4)Q$. Ограничение: $b\ne-4$; для действительных $b$ выражение $Q$ не обращается в ноль.
$\dfrac{6b(b^2+8)}{(b+4)Q}-\dfrac{3b^2(b+4)}{(b+4)Q}=\dfrac{6b^3+48b-3b^3-12b^2}{(b+4)Q}$.
Числитель равен $3b(b^2-4b+16)=3bQ$, поэтому результат — $\dfrac{3b}{b+4}$.

Ответ: 1) $\dfrac{1}{y^2-4}$, где $y\ne\pm2$; 2) $\dfrac{3b}{b+4}$, где $b\ne-4$.

Упростите выражение: 1) \(\dfrac{y+6}{4y+8}-\dfrac{y+2}{4y-8}+\dfrac{5}{y^2-4}\); 2) \(\dfrac{6b^3+48b}{b^3+64}-\dfrac{3b^2}{b^2-4b+16}\).