552. Упростите выражение: а) $$\frac{18^n}{2^{n+1}\cdot3^{2n-1}}$$; б) $$\frac{14^{n-1}\cdot21^{n+1}}{49^n\cdot6^{n}}$$

a) $$\frac{18^n}{2^{n+1}\cdot3^{2n-1}}$$

• Представим число 18 как произведение простых чисел: $$18 = 2 \cdot 3^2$$.
• $$\frac{18^n}{2^{n+1}\cdot3^{2n-1}} = \frac{(2 \cdot 3^2)^n}{2^{n+1}\cdot3^{2n-1}} = \frac{2^n \cdot 3^{2n}}{2^{n+1}\cdot3^{2n-1}} = 2^{n-(n+1)} \cdot 3^{2n-(2n-1)} = 2^{n-n-1} \cdot 3^{2n-2n+1} = 2^{-1} \cdot 3^1 = \frac{3}{2} = 1.5$$

Ответ: 1.5

б) $$\frac{14^{n-1}\cdot21^{n+1}}{49^n\cdot6^{n}}$$

• Разложим числа 14, 21, 49 и 6 на простые множители: $$14 = 2 \cdot 7$$, $$21 = 3 \cdot 7$$, $$49 = 7^2$$, $$6 = 2 \cdot 3$$.
• $$\frac{14^{n-1}\cdot21^{n+1}}{49^n\cdot6^{n}} = \frac{(2 \cdot 7)^{n-1}\cdot(3 \cdot 7)^{n+1}}{(7^2)^n\cdot(2 \cdot 3)^{n}} = \frac{2^{n-1} \cdot 7^{n-1} \cdot 3^{n+1} \cdot 7^{n+1}}{7^{2n} \cdot 2^n \cdot 3^n} = \frac{2^{n-1} \cdot 3^{n+1} \cdot 7^{n-1+n+1}}{2^n \cdot 3^n \cdot 7^{2n}} = \frac{2^{n-1} \cdot 3^{n+1} \cdot 7^{2n}}{2^n \cdot 3^n \cdot 7^{2n}} = 2^{n-1-n} \cdot 3^{n+1-n} \cdot 7^{2n-2n} = 2^{-1} \cdot 3^1 \cdot 7^0 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 = \frac{3}{2} = 1.5$$

Ответ: 1.5