Упростите выражение: $$\\sqrt{2} \\cdot \\cos 135° - 6 \\cdot \\operatorname{tg} 230° \\cdot (\\sin 230° - 1)$$

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся значениями тригонометрических функций для углов, связанных с табличными значениями.

• $$\\cos 135° = \\cos (180° - 45°) = -\\cos 45° = -\\frac{\\sqrt{2}}{2}$$
• $$\\operatorname{tg} 230° = \\operatorname{tg} (180° + 50°) = \\operatorname{tg} 50°$$
• $$\\sin 230° = \\sin (180° + 50°) = -\\sin 50°$$

Подставим найденные значения в выражение:

• $$\\sqrt{2} \\cdot \\left(-\\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\\right) - 6 \\cdot \\operatorname{tg} 50° \\cdot ( -\\sin 50° - 1)$$
• $$-1 - 6 \\cdot \\frac{\\sin 50°}{\\cos 50°} \\cdot ( -\\sin 50° - 1)$$
• $$-1 + 6 \\cdot \\frac{\\sin 50° (\\sin 50° + 1)}{\\cos 50°}$$

Упростить данное выражение дальше без дополнительных данных или контекста сложно, так как углы 50° не являются стандартными. Однако, если допустить, что в задании опечатка и имелся в виду угол, например, 150° или 225°, можно было бы получить более простое числовое значение.

Если же принять, что $$\\operatorname{tg} 230°$$ и $$\\sin 230°$$ имеют определенные значения, то выражение принимает вид:

• $$-1 - 6 \\cdot \\operatorname{tg} 230° \\cdot \\sin 230° + 6 \\cdot \\operatorname{tg} 230°$$

Это не приводит к значительному упрощению без конкретных числовых значений для $$\\operatorname{tg} 230°$$ и $$\\sin 230°$$.

Примечание: Возможно, в условии задачи опечатка, и требовалось упростить выражение с другими углами.