В треугольнике MNK угол ∠K = 30°, ∠M = 105°, MN = 4. Найдите KM²

Решение:

Сначала найдем третий угол треугольника MNK:

• $$\\angle N = 180° - \\angle M - \\angle K = 180° - 105° - 30° = 45°$$

Теперь применим теорему синусов:

• $$\\frac{MN}{\\sin N} = \\frac{KM}{\\sin M}$$

Подставим известные значения:

• $$\\frac{4}{\\sin 45°} = \\frac{KM}{\\sin 105°}$$

Выразим KM:

• $$KM = \\frac{4 \\cdot \\sin 105°}{\\sin 45°}$$

Найдем значение $$\\sin 105°$$:

• $$\\sin 105° = \\sin (60° + 45°) = \\sin 60° \\cos 45° + \\cos 60° \\sin 45° = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2} + \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{2}}{2} = \\frac{\\sqrt{6} + \\\[\sqrt{2}}{4}$$

Значение $$\\sin 45° = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$$

Подставим значения синусов:

• $$KM = \\frac{4 \\cdot \\frac{\\sqrt{6} + \\\[\sqrt{2}}{4}}{\\frac{\\sqrt{2}}{2}} = \\frac{4 \\cdot \\sqrt{6} + 4 \\cdot \\\[\sqrt{2}}{4} \\cdot \\frac{2}{\\sqrt{2}} = (\\sqrt{6} + \\\[\sqrt{2}) \\cdot \\frac{2}{\\sqrt{2}} = \\sqrt{12} + 2 = 2\\sqrt{3} + 2$$

Теперь найдем $$KM^2$$:

• $$KM^2 = (2\\sqrt{3} + 2)^2 = (2\\sqrt{3})^2 + 2 \\cdot (2\\sqrt{3}) \\cdot 2 + 2^2 = 4 \\cdot 3 + 8\\sqrt{3} + 4 = 12 + 8\\sqrt{3} + 4 = 16 + 8\\sqrt{3}$$