829. Упростите выражение: a) (x + 3)³– (x – 3)³; б) (a-2b)³ + 6ab(a – 2b).

Упростим выражение

а)

Преобразуем выражение $$(x + 3)^3 - (x - 3)^3$$

Используем формулы куба суммы и куба разности:

$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

$$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

Раскроем скобки:

$$ (x + 3)^3 - (x - 3)^3 = (x^3 + 9x^2 + 27x + 27) - (x^3 - 9x^2 + 27x - 27) $$ $$ = x^3 + 9x^2 + 27x + 27 - x^3 + 9x^2 - 27x + 27 $$

Приведем подобные члены:

$$ = x^3 - x^3 + 9x^2 + 9x^2 + 27x - 27x + 27 + 27 $$ $$ = 18x^2 + 54 $$

Ответ: $$18x^2 + 54$$

б)

Преобразуем выражение $$(a-2b)^3 + 6ab(a - 2b)$$

Используем формулу куба разности:

$$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

Раскроем скобки:

$$ (a-2b)^3 + 6ab(a - 2b) = (a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3) + (6a^2b - 12ab^2) $$ $$ = a^3 - 6a^2b + 12ab^2 - 8b^3 + 6a^2b - 12ab^2 $$

Приведем подобные члены:

$$ = a^3 - 6a^2b + 6a^2b + 12ab^2 - 12ab^2 - 8b^3 $$ $$ = a^3 - 8b^3 $$

Ответ: $$a^3 - 8b^3$$