В-1 Уровень 3. 3. В ромбе ABCD биссектриса угла DCA перпендикулярна стороне AD. Найдите углы ромба.

Пусть сторона ромба равна \(s\), а \(\angle DAB=\theta\). В треугольнике \(ACD\) стороны \(AD=CD=s\), поэтому его углы при A и C равны. Обозначим каждый из них через \(\alpha\); тогда \(\theta=2\alpha\).

Биссектриса угла \(DCA\) делит угол при C пополам. В треугольнике, образованном этой биссектрисой и сторонами ромба, условие перпендикулярности к \(AD\) приводит к \(\cos(2\alpha)+\cos\alpha=0\). Для \(0°<\alpha<90°\) отсюда \(\alpha=60°\). Следовательно, \(\theta=120°\), а второй угол ромба равен \(60°\).

Ответ: 60° и 120°.