В-2. Задача 3 (уровень В): По данным рисунка запиши, что дано в задаче, и докажи, что ΔABC=ΔCDA, если известно, что BC=AD.

Дано: \(BC=AD\) (по условию); по отметкам на рисунке \(AO=OC\), \(KO=OM\). Точки \(A,O,C\) лежат на одной прямой, точки \(K,O,M\) лежат на одной прямой; \(K\) лежит на \(BC\), а \(M\) — на \(AD\).

Доказательство. Сначала рассмотрим \(\triangle KOC\) и \(\triangle MOA\). По отметкам \(KO=OM\) и \(OC=OA\). Углы \(\angle KOC\) и \(\angle MOA\) вертикальные, значит, равны. Поэтому \(\triangle KOC=\triangle MOA\) по первому признаку равенства треугольников.

Из равенства этих треугольников следует \(\angle KCO=\angle MAO\). Так как лучи \(CK\) и \(CB\) совпадают, лучи \(CO\) и \(CA\) совпадают, лучи \(AM\) и \(AD\) совпадают, а лучи \(AO\) и \(AC\) совпадают, получаем \(\angle BCA=\angle DAC\).

Теперь рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\). Имеем \(BC=AD\) по условию, \(AC=CA\) как общую сторону и \(\angle BCA=\angle DAC\). Следовательно, \(\triangle ABC=\triangle CDA\) по первому признаку равенства треугольников.