В амфитеатре 24 ряда, причём на каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В пятом ряду 27 мест, а в седьмом ряду 31 место. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

Эта задача описывает арифметическую прогрессию, где количество мест в каждом ряду увеличивается на одно и то же число. Обозначим:

• \(a_n\) — количество мест в n-ном ряду.
• \(n\) — номер ряда.
• \(d\) — разность (на сколько мест увеличивается количество в каждом следующем ряду).

Из условия задачи мы знаем:

• Общее количество рядов: 24.
• В пятом ряду 27 мест: \( a_5 = 27 \).
• В седьмом ряду 31 место: \( a_7 = 31 \).

Шаг 1: Найдем разность (d).

Разность между количеством мест в седьмом и пятом рядах равна удвоенной разности прогрессии (так как между 5-м и 7-м рядами 2 промежутка):

\[ a_7 - a_5 = (a_5 + 2d) - a_5 = 2d \]

\[ 31 - 27 = 2d \]

\[ 4 = 2d \]

\[ d = \frac{4}{2} = 2 \]

Итак, в каждом следующем ряду на 2 места больше.

Шаг 2: Найдем количество мест в первом ряду (a₁).

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).

Для пятого ряда: \( a_5 = a_1 + (5-1)d \)

\[ 27 = a_1 + 4d \]

Подставим найденное значение \( d = 2 \):

\[ 27 = a_1 + 4 \times 2 \]

\[ 27 = a_1 + 8 \]

\[ a_1 = 27 - 8 = 19 \]

Значит, в первом ряду 19 мест.

Шаг 3: Найдем количество мест в последнем, 24-м ряду (a₂₄).

Используем ту же формулу:

\[ a_{24} = a_1 + (24-1)d \]

\[ a_{24} = 19 + 23 \times 2 \]

\[ a_{24} = 19 + 46 \]

\[ a_{24} = 65 \]

Ответ: 65