9. В арифметической прогрессии (сₙ) С₅ = 12, C₁₀ = 27. Найдите сумму первых 30 членов этой прогрессии.

Ответ: 2655

Решение:

Запишем формулу n-го члена арифметической прогрессии:

\[c_n = c_1 + (n - 1)d\]

Используя известные значения, составим систему уравнений:

\[\begin{cases} c_5 = c_1 + 4d = 12 \\ c_{10} = c_1 + 9d = 27 \end{cases}\]

Вычтем первое уравнение из второго:

\[5d = 15 \Rightarrow d = 3\]

Подставим значение d в первое уравнение:

\[c_1 + 4 \cdot 3 = 12\] \[c_1 + 12 = 12\] \[c_1 = 0\]

Теперь найдем сумму первых 30 членов прогрессии. Формула суммы первых n членов:

\[S_n = \frac{2c_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n\]

В нашем случае: \(c_1 = 0\), \(d = 3\), \(n = 30\)

Подставляем значения в формулу:

\[S_{30} = \frac{2 \cdot 0 + (30 - 1) \cdot 3}{2} \cdot 30\] \[S_{30} = \frac{0 + 29 \cdot 3}{2} \cdot 30\] \[S_{30} = \frac{87}{2} \cdot 30\] \[S_{30} = 87 \cdot 15\] \[S_{30} = 1305\]

Ответ: 1305