4. В прямоугольном треугольнике ABC ZC = 90°, биссек- триса АК в 2 раза больше расстояния от точки К до пря- мой АВ. Гипотенуза АВ = 32 см. Найдите катет АС.

В прямоугольном треугольнике ABC, угол C = 90°. Пусть KD - расстояние от точки K до AB, где D лежит на AB. По условию, AK = 2KD.

Рассмотрим треугольник AKD. Это прямоугольный треугольник, так как KD перпендикулярна AB. Тогда sin(DAK) = KD/AK. Так как AK = 2KD, то KD/AK = 1/2. Таким образом, sin(DAK) = 1/2.

Угол DAK = 30°. Так как AK - биссектриса угла A, то угол BAC = 2 * DAK = 2 * 30° = 60°.

В треугольнике ABC, угол BAC = 60°, угол C = 90°, следовательно, угол ABC = 180° - 90° - 60° = 30°.

По условию, AB = 32 см. Катет AC лежит напротив угла ABC = 30°. Следовательно, AC = 1/2 * AB = 1/2 * 32 = 16 см.

Ответ: 16 см