3. в десятизначном числе все цифры встречаются по разу. Может ли оно делиться на 11?

Для того чтобы число делилось на 11, необходимо, чтобы разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делилась на 11 или была равна 0.

Сумма цифр от 0 до 9 равна 45. В десятизначном числе используются все цифры от 0 до 9. Пусть сумма цифр на четных местах равна S1, а сумма цифр на нечетных местах равна S2. Тогда S1 + S2 = 45.

Разность между этими суммами: |S1 - S2|. Для делимости на 11, |S1 - S2| должно быть равно 0, 11, 22, 33 или 44.

Если S1 - S2 = 0, то S1 = S2 = 22.5, что невозможно, так как S1 и S2 должны быть целыми числами.

Если |S1 - S2| = 11, то либо S1 - S2 = 11, либо S2 - S1 = 11. В первом случае S1 = (45 + 11) / 2 = 28, S2 = 17. Во втором случае S2 = (45 + 11) / 2 = 28, S1 = 17.

Если |S1 - S2| = 22, то либо S1 - S2 = 22, либо S2 - S1 = 22. В первом случае S1 = (45 + 22) / 2 = 33.5, S2 = 11.5, что невозможно, так как S1 и S2 должны быть целыми числами. Во втором случае S2 = (45 + 22) / 2 = 33.5, S1 = 11.5, что невозможно, так как S1 и S2 должны быть целыми числами.

Если |S1 - S2| = 33, то либо S1 - S2 = 33, либо S2 - S1 = 33. В первом случае S1 = (45 + 33) / 2 = 39, S2 = 6. Во втором случае S2 = (45 + 33) / 2 = 39, S1 = 6.

Если |S1 - S2| = 44, то либо S1 - S2 = 44, либо S2 - S1 = 44. В первом случае S1 = (45 + 44) / 2 = 44.5, S2 = 0.5, что невозможно, так как S1 и S2 должны быть целыми числами. Во втором случае S2 = (45 + 44) / 2 = 44.5, S1 = 0.5, что невозможно, так как S1 и S2 должны быть целыми числами.

Итак, возможны два варианта: S1 = 28 и S2 = 17 или S1 = 17 и S2 = 28, S1 = 39 и S2 = 6 или S1 = 6 и S2 = 39.

Пример числа, где S1=28 и S2=17: 9081726354

Проверим: 9+8+7+6+5 = 35, 0+1+2+3+4 = 10. Разность 35-10 = 25. Не подходит

Пример числа, где S1=17 и S2=28: 0918273645

Проверим: 0+1+2+3+4 = 10, 9+8+7+6+5 = 35. Разность 10-35 = -25. Не подходит

Пример числа, где S1=39 и S2=6: 9876543210

Проверим: 9+7+5+3+1=25, 8+6+4+2+0=20. Разность 25-20=5. Не подходит

Таким образом, в десятизначном числе, состоящем из всех цифр по одному разу, разность сумм цифр на четных и нечетных местах может быть 11 или 33. Это значит, что такое число может делиться на 11.

Ответ: Да, может.