8. Вася и Петя нашли на дороге по пачке 11-рублевок. В чайной Вася выпил 3 стакана чая, съел 4 калача и 5 бубликов. Петя выпил 9 стаканов чая, съел 1 калач и 4 бублика. Стакан чая, калач и бублик стоят по целому числу рублей. Оказалось, что Вася может расплатиться 11-рублевками без сдачи. Покажите, что это может сделать и Петя.

Пусть стоимость стакана чая - t, стоимость калача - k, стоимость бублика - b. Все величины - целые числа.

Вася выпил 3 стакана чая, съел 4 калача и 5 бубликов. Сумма = 3t + 4k + 5b. Вася может расплатиться 11-рублевками без сдачи, значит 3t + 4k + 5b делится на 11.

Петя выпил 9 стаканов чая, съел 1 калач и 4 бублика. Сумма = 9t + k + 4b.

Надо показать, что 9t + k + 4b делится на 11.

Умножим сумму, которую заплатил Вася, на 3: 3 * (3t + 4k + 5b) = 9t + 12k + 15b. Она тоже делится на 11.

Вычтем из этого сумму, которую заплатил Петя: (9t + 12k + 15b) - (9t + k + 4b) = 11k + 11b = 11(k+b).

11(k+b) делится на 11.

Так как 9t + 12k + 15b делится на 11 и 11(k+b) делится на 11, то и их разность тоже делится на 11.

(9t + 12k + 15b) - 11(k+b) = 9t + 12k + 15b - 11k - 11b = 9t + k + 4b. То есть сумма, которую заплатил Петя, делится на 11.

Ответ: доказано.