8. В фирме работает 60 сотрудников, из них 50 человек знают английский язык, а 15 французский. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) Если сотрудник этой фирмы знает английский язык, то он знает и французский. 2) Хотя бы три сотрудника этой фирмы знают и английский, и французский языки. 3) Не более 15 сотрудников этой фирмы знают и английский, и французский языки. 4) В этой фирме нет ни одного человека, знающего и английский, и французский языки. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решим задачу, используя круги Эйлера. Пусть A - множество сотрудников, знающих английский язык, а B - множество сотрудников, знающих французский язык. Общее число сотрудников 60.

Дано:

• |A| = 50
• |B| = 15
• Общее количество сотрудников = 60

1) Если сотрудник этой фирмы знает английский язык, то он знает и французский.

Это неверно, так как количество сотрудников, знающих французский язык, меньше, чем знающих английский. Если бы все знающие английский знали и французский, то количество знающих французский должно быть не меньше 50, но это не так.

2) Хотя бы три сотрудника этой фирмы знают и английский, и французский языки.

Пусть x - количество сотрудников, знающих оба языка. Тогда количество сотрудников, знающих только английский, равно 50 - x, а количество сотрудников, знающих только французский, равно 15 - x. Общее количество сотрудников равно 60, поэтому имеем уравнение:

(50 - x) + (15 - x) + x ≤ 60

65 - x ≤ 60

x ≥ 5

Следовательно, как минимум 5 сотрудников знают оба языка, а значит, утверждение верно.

3) Не более 15 сотрудников этой фирмы знают и английский, и французский языки.

Так как всего французский знают 15 сотрудников, то максимум 15 сотрудников могут знать и английский, и французский.

Следовательно, утверждение верно.

4) В этой фирме нет ни одного человека, знающего и английский, и французский языки.

Мы показали, что как минимум 5 сотрудников знают оба языка, поэтому это утверждение неверно.

Таким образом, верные утверждения: 2 и 3.

Ответ: 23