В группе учатся 20 студентов, из них 17 человек сдали зачёт по истории и 7 сдали зачёт по философии. Укажите номера всех истинных утверждений. 1) В этой группе найдётся 7 студентов, которые не сдали зачёт по истории, но сдали зачёт по философии. 2) Хотя бы 4 студента из этой группы сдали зачёты и по истории, и по философии. 3) Каждый студент этой группы сдал оба зачёта. 4) Менее 8 студентов из этой группы сдали зачёты и по истории, и по философии.

Обозначим через H множество сдавших историю, через F — сдавших философию. По формуле включений-исключений число сдавших оба зачёта не меньше \(17+7-20=4\) и не больше 7.

1. Неверно: число сдавших только философию может быть меньше 7; например, если оба зачёта сдали 7 студентов, то только философию не сдал никто.
2. Верно: оба зачёта сдали не менее 4 студентов.
3. Неверно: философию сдали только 7 из 20 студентов.
4. Верно: оба зачёта сдали не более 7 студентов, а значит, менее 8.

Ответ: 2, 4.