В — I, 3. Меньшая сторона прямоугольника равна 14 см. Найди длины диагоналей, если они пересекаются под углом 120°.

Обозначим меньшую сторону прямоугольника через a, большую — через b. Диагонали можно представить векторами (b, a) и (b, −a). Для угла 120°:

\(\cos 120^\circ=\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}=-\frac12\).

Отсюда \(2(b^2-a^2)=-(b^2+a^2)\), поэтому \(b^2=\frac{a^2}{3}\) при выбранном порядке векторов неверно для b ≥ a; угол 120° между диагоналями соответствует векторам (b,a) и (−b,a), и тогда \(\cos 120^\circ=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\).

Подставим a = 14: \(2(a^2-b^2)=-(a^2+b^2)\), откуда \(b^2=3a^2\), значит b = 14\(\sqrt3\) см.

Диагональ прямоугольника равна \(\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{14^2+(14\sqrt3)^2}=28\) см. Диагонали прямоугольника равны.

Ответ: обе диагонали по 28 см.