В — II, 3. Докажи, что: а) точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон; б) точка пересечения диагоналей прямоугольника является центром описанной около него окружности.

а) Пусть O — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. Поэтому каждая диагональ является осью симметрии ромба, а их пересечение O — центр симметрии. Поворот на 90° вокруг O переводит стороны ромба друг в друга и сохраняет расстояния. Следовательно, расстояния от O до всех четырёх сторон равны.

б) Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения O пополам. Поэтому расстояния от O до всех вершин равны половинам диагоналей: OA = OB = OC = OD. Значит, окружность с центром O и радиусом OA проходит через все вершины прямоугольника.

Ответ: в пункте а) расстояния от точки пересечения диагоналей до сторон равны; в пункте б) эта точка является центром описанной окружности.