4. В классе 16 учащихся, среди них два друга – Вадим и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе.

Всего 16 учеников, их делят на 4 группы по 4 человека. Найдем общее число способов разделить 16 человек на 4 группы. Сначала выберем группу для Вадима. Остается 15 мест. Чтобы Сергей попал в ту же группу, нужно выбрать 3 места из оставшихся 15 для остальных членов группы. Число способов это сделать: $C_{15}^{3} = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3!12!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 5 \cdot 7 \cdot 13 = 455$. Теперь найдем общее число способов сформировать группу из 4 человек из 16, включая Вадима. Остается выбрать 3 человека из 15: $C_{15}^{3} = 455$. После того, как первая группа сформирована, остается 12 человек. Выбираем вторую группу из 4 человек $C_{12}^{4} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 495$. После этого остается 8 человек, выбираем третью группу $C_{8}^{4} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$. Последняя группа формируется автоматически из оставшихся 4 человек $C_{4}^{4} = 1$. Общее число способов разбить 16 человек на 4 группы равно:$\frac{C_{16}^{4} \cdot C_{12}^{4} \cdot C_{8}^{4} \cdot C_{4}^{4}}{4!} = \frac{1820 \cdot 495 \cdot 70 \cdot 1}{24} = \frac{63063000}{24} = 2627625$. Число способов, когда Вадим и Сергей в одной группе, равно: $C_{14}^{2} \cdot \frac{C_{12}^{4} \cdot C_{8}^{4} \cdot C_{4}^{4}}{3!} = 91 \cdot \frac{495 \cdot 70 \cdot 1}{6} = 91 \cdot 5775 = 525525$. Вероятность того, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе: $P = \frac{525525}{2627625} = \frac{455}{2275} = \frac{91}{455} = \frac{1}{5}$. Другой способ: Вадим уже в какой-то группе. В этой группе 3 места. Всего 15 мест осталось. Вероятность, что Сергей попадет в эту группу: $P = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} = 0.2$. Ответ: 0.2