В кубе $$DKPZD_1K_1P_1Z_1$$ найдите угол между прямыми $$DZ_1$$ и $$D_1P_1$$. Ответ дайте в градусах.

1) Выполним чертёж куба $$DKPZD_1K_1P_1Z_1$$.

       K1_______P1
      /|      /|
     / |     / |
    D1/_______Z1/
    |  K-----|--P
    | /      | /
    |/       |/
    D/_______Z/

2) Прямая $$DZ_1$$ скрещивается с прямой $$D_1P_1$$.

3) $$DZ_1 || KP_1$$, следовательно, угол между прямыми $$DZ_1$$ и $$D_1P_1$$ равен углу между прямыми $$KP_1$$ и $$D_1P_1$$, то есть это угол $$\angle KP_1D_1$$.

4) Рассмотрим четырехугольник $$D_1K P_1 Z_1$$. Т.к. $$D_1K || Z_1P_1$$ и $$D_1Z_1 || KP_1$$, то $$D_1K P_1 Z_1$$ - параллелограмм. Т.к. $$D_1K \perp D_1Z_1$$, то $$D_1K P_1 Z_1$$ - прямоугольник. Т.к. $$D_1K = D_1Z_1$$, то $$D_1K P_1 Z_1$$ - квадрат.

5) Т.к. $$D_1K P_1 Z_1$$ - квадрат, то диагональ $$D_1P_1$$ является биссектрисой угла $$\angle K D_1 Z_1$$. Следовательно, $$\angle KD_1P_1 = 45°$$.

6) $$\triangle D_1KP_1$$ - равнобедренный, $$D_1K=KP_1$$, значит, $$\angle KD_1P_1 = \angle KP_1D_1 = 45°$$.

Ответ: 45