7. В окружности с центром О проведены диаметр MN и хорды NF и NK так, что NF = NK. Докажите, что ∠MNK = ∠MNF.

Рассмотрим треугольник $$\triangle NFK$$. Так как $$NF = NK$$, то этот треугольник равнобедренный с основанием FK. Следовательно, $$\angle NFK = \angle NKF$$. Угол $$\angle NMF$$ и $$\angle NKF$$ опираются на одну и ту же дугу NF, значит, они равны: $$\angle NMF = \angle NKF$$. Аналогично, углы $$\angle MNK$$ и $$\angle MNF$$ опираются на равные хорды NK и NF соответственно. Поскольку равные хорды стягивают равные дуги, то и вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, равны. Таким образом, $$\angle MNK = \angle MNF$$, что и требовалось доказать.