В основании пирамиды лежит квадрат со стороной a. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна её основанию, а две боковые грани, соседние с ней, образуют с основанием двугранные углы по 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Пусть основание — квадрат ABCD, а грань с ребром AB перпендикулярна основанию. Проекция вершины пирамиды на основание лежит на AB. Равные углы 60° у соседних граней вдоль AD и BC означают, что эта проекция находится на одинаковом расстоянии от AD и BC; следовательно, она — середина AB.

В сечении, перпендикулярном AD, \(\tan60^\circ=H/(a/2)\), поэтому высота пирамиды \(H=a\sqrt3/2\).

Апофема грани AB равна H, а площадь этой грани — \(aH/2=a^2\sqrt3/4\). Для противоположной грани CD апофема равна \(\sqrt{H^2+a^2}=a\sqrt7/2\), её площадь — \(a^2\sqrt7/4\). У каждой из двух остальных граней высота равна \(a\), поэтому их суммарная площадь равна \(a^2\).

Площадь основания равна \(a^2\). Итого:

\(S_{полн}=a^2+a^2\sqrt3/4+a^2\sqrt7/4+a^2=a^2\left(2+\frac{\sqrt3+\sqrt7}{4}\right)\).

Ответ: \(a^2\left(2+\frac{\sqrt3+\sqrt7}{4}\right)\).