Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см, а двугранный угол при стороне основания равен 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды и расстояние от вершины основания до противоположной боковой грани.

В сечении через вершину пирамиды, центр основания и середину его стороны получаем прямоугольный треугольник. Высота пирамиды равна 6 см, а угол между высотой боковой грани и основанием равен 45°. Поэтому апофема основания \(r=6/\tan45^\circ=6\) см.

Для равностороннего основания \(r=a\sqrt3/6\), следовательно, сторона основания \(a=12\sqrt3\) см. Высота боковой грани:

\(l=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt2\) см.

Боковая площадь равна \(\frac12\cdot3a\cdot l=108\sqrt6\) см².

Площадь основания равна \(108\sqrt3\) см², поэтому объём пирамиды \(V=\frac13\cdot108\sqrt3\cdot6=216\sqrt3\) см³. Противоположная боковая грань имеет площадь \(\frac12\cdot12\sqrt3\cdot6\sqrt2=36\sqrt6\) см². Расстояние от противоположной вершины основания до плоскости этой грани равно \(3V/S=18\sqrt2\) см.

Ответ: площадь боковой поверхности — \(108\sqrt6\) см²; расстояние — \(18\sqrt2\) см.