24. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА₁ и СС1. Докажите, что углы ССА, И САА₁ равны.

Докажем, что углы $$CCA_1$$ и $$CAA_1$$ равны.

Рассмотрим остроугольный треугольник ABC, в котором проведены высоты $$AA_1$$ и $$CC_1$$.

Угол $$AA_1C = 90^\circ$$ и угол $$CC_1A = 90^\circ$$ (т.к. $$AA_1$$ и $$CC_1$$ - высоты).

Рассмотрим четырехугольник $$A_1CC_1H$$, где H - точка пересечения высот.

Сумма углов четырехугольника равна 360 градусов, поэтому

$$A_1HC + AA_1C + C_1AC + CC_1A = 360^\circ$$

$$A_1HC + 90^\circ + C_1AC + 90^\circ = 360^\circ$$

$$A_1HC + C_1AC = 180^\circ$$

Углы $$A_1HC$$ и $$C_1HA$$ - смежные, значит, в сумме составляют 180 градусов.

$$C_1HA + C_1AC = 180^\circ$$

Из этих двух равенств следует, что угол $$A_1HC$$ равен углу $$C_1AC$$.

Рассмотрим треугольники $$A_1HC$$ и $$C_1HA$$. Они подобны, т.к. углы при вершине H равны (вертикальные) и углы при основаниях равны (углы, опирающиеся на одну и ту же дугу).

Углы $$CCA_1$$ и $$CAA_1$$ являются углами при основании в этих треугольниках, и они равны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано