15. В треугольнике АВС известно, что AB=BC=24, ∠ABC=120°, BК – биссектри- са. Найдите длину отрезка ВК.

В треугольнике ABC известно, что AB=BC=24, ∠ABC=120°, BК – биссектриса. Найдите длину отрезка ВК.

Решение:

1. Т.к. AB=BC, то треугольник ABC равнобедренный.
2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Найдем углы BAC и BCA: $$∠BAC = ∠BCA = (180° - ∠ABC) / 2 = (180° - 120°) / 2 = 60° / 2 = 30°$$
3. BK - биссектриса угла ABC, значит, угол ABK равен половине угла ABC: $$∠ABK = ∠ABC / 2 = 120° / 2 = 60°$$
4. Рассмотрим треугольник ABK. Найдем угол AKB: $$∠AKB = 180° - ∠BAK - ∠ABK = 180° - 30° - 60° = 90°$$
5. Тогда треугольник ABK - прямоугольный. Найдем BK: $$BK = AB \cdot cos∠ABK = 24 \cdot cos 60° = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$$

Ответ: 12