В параллелограмме ABCD сторона AD на 5 см больше стороны AB, BD=7 см, ∠C=60°. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Пусть (AB = x), тогда (AD = x + 5). Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то (\angle A = \angle C = 60^\circ). Рассмотрим треугольник ABD. Применим теорему косинусов: (BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A) Подставляем известные значения: (7^2 = x^2 + (x + 5)^2 - 2 \cdot x \cdot (x + 5) \cdot \cos 60^\circ) (49 = x^2 + x^2 + 10x + 25 - 2x(x + 5) \cdot \frac{1}{2}) (49 = 2x^2 + 10x + 25 - x^2 - 5x) (x^2 + 5x - 24 = 0) Решаем квадратное уравнение. Дискриминант (D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121) Корни уравнения: (x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 11}{2} = 3) и (x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 11}{2} = -8). Так как длина стороны не может быть отрицательной, то (AB = x = 3) см, следовательно, (AD = x + 5 = 3 + 5 = 8) см. Теперь найдем высоту параллелограмма. Опустим высоту (BH) на сторону (AD). В прямоугольном треугольнике ABH: \(\sin A = \frac{BH}{AB}\), откуда (BH = AB \cdot \sin A = 3 \cdot \sin 60^\circ = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\) см. Площадь параллелограмма (S = AD \cdot BH = 8 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}) см(^2). Ответ: Площадь параллелограмма ABCD равна (12\sqrt{3}) см(^2).