9. В правильной четырёхугольной призме $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ ребро $$AA_1$$ равно 7, а диагональ $$BD_1$$ равна 25. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки $$A$$, $$A_1$$ и $$C$$.

Пусть сторона основания равна $$a$$. Поскольку $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ - правильная четырехугольная призма, то в основании лежит квадрат. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$B D D_1$$: $$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2$$. Так как $$BD$$ - диагональ квадрата, то $$BD = a\sqrt{2}$$. Также $$DD_1 = AA_1 = 7$$. Тогда имеем: $$25^2 = (a\sqrt{2})^2 + 7^2$$, $$625 = 2a^2 + 49$$, $$2a^2 = 576$$, $$a^2 = 288$$, $$a = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}$$. Теперь рассмотрим сечение $$AA_1C_1C$$. Это прямоугольник. $$AA_1 = 7$$, $$AC = a\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 12 \cdot 2 = 24$$. Площадь сечения равна: $$S = AA_1 \cdot AC = 7 \cdot 24 = 168$$. Ответ: 168