7. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол 60°, а радиус окружности, описанной около основания, равен 2√3 см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть R - радиус описанной окружности, a - сторона основания, h - высота пирамиды, l - боковое ребро, α - угол между боковым ребром и плоскостью основания.

Связь между радиусом описанной окружности и стороной правильного треугольника:

\[R = \frac{a}{\sqrt{3}}\]

Найдем сторону основания:

\[a = R \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6 \text{ см}\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и радиусом описанной окружности.

\[\tan(\alpha) = \frac{h}{R}\]

Тогда высота пирамиды:

\[h = R \tan(\alpha) = 2\sqrt{3} \cdot \tan(60^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6 \text{ см}\]

Теперь найдем апофему (высоту боковой грани). Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания.

Пусть A - апофема, x - половина стороны основания:

\[x = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}\]

По теореме Пифагора:

\[A^2 = h^2 + x^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45\]

\[A = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \text{ см}\]

Площадь боковой поверхности равна:

\[S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot A\]

Где P - периметр основания:

\[P = 3a = 3 \cdot 6 = 18 \text{ см}\]

\[S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 3\sqrt{5} = 9 \cdot 3\sqrt{5} = 27\sqrt{5} \text{ см}^2\]

Ответ: 27√5 см²

Проверка за 10 секунд: Пересчитайте апофему и подставьте в формулу площади боковой поверхности.

База: Знание соотношений в правильном треугольнике и теоремы Пифагора помогает решать задачи на пирамиды.