457 В правильной треугольной призме через сторону нижнего основа ния и противолежащую ей вершину верхнего основания проведен сечение, составляющее угол в 60° с плоскостью основания. Найди те объём призмы, если сторона основания равна а.

Пусть дана правильная треугольная призма ABC A₁B₁C₁. Через сторону AB нижнего основания и вершину C₁ верхнего основания проведено сечение ABC₁. Угол между сечением ABC₁ и плоскостью основания ABC равен 60°. Сторона основания AB = a. 1. Определим высоту призмы CC₁. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой CC₁, высотой CK основания ABC и линией C₁K, угол C₁KC = 60°. CK является высотой равностороннего треугольника и равна $$CK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$. Тогда $$CC₁ = CK \cdot tan(60°) = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3a}{2}$$. 2. Вычислим площадь основания призмы ABC. $$S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$. 3. Вычислим объём призмы. $$V = S_{ABC} \cdot CC₁ = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3a}{2} = \frac{3a^3\sqrt{3}}{8}$$. Ответ: $$V = \frac{3a^3\sqrt{3}}{8}$$