2. В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) ребра \(CD\), \(BC\) и диагональ боковой грани \(CD_1\) равны соответственно 7, 6 и \(\sqrt{53}\). Найдите объём параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\).

Пусть \(CD = a = 7\), \(BC = b = 6\). Диагональ боковой грани \(CD_1 = d = \sqrt{53}\). В прямоугольном параллелепипеде боковая грань \(CDD_1C_1\) является прямоугольником. По теореме Пифагора, \(CD_1^2 = CD^2 + DD_1^2\). Тогда \(DD_1^2 = CD_1^2 - CD^2 = (\sqrt{53})^2 - 7^2 = 53 - 49 = 4\). Следовательно, \(DD_1 = c = \sqrt{4} = 2\). Объём параллелепипеда равен \(V = a * b * c = 7 * 6 * 2 = 84\). Ответ: Объём параллелепипеда равен 84.