23. В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна 2√22, а катет ВС — 6. Найдите длину медианы ВМ. Ответ:

Ответ: 11

1. Найдем AC по теореме Пифагора:
   \[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(2\sqrt{22})^2 - 6^2} = \sqrt{4 \cdot 22 - 36} = \sqrt{88 - 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\]
2. Так как BM - медиана, проведенная к гипотенузе, то она равна половине гипотенузы:
   \[BM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{22} = \sqrt{22}\]
3. Найдем AM:
   \[AM = \frac{AC}{2} = \frac{2\sqrt{13}}{2} = \sqrt{13}\]
4. Применим теорему Пифагора к треугольнику BMC:
   \[BM^2 = BC^2 + MC^2\]
   \[BM = \sqrt{BC^2 + MC^2} = \sqrt{6^2 + (\sqrt{13})^2} = \sqrt{36 + 13} = \sqrt{49} = 7\]
5. Так как М - середина АС, то AM = MC = √13.
   Теперь рассмотрим треугольник BMC. Мы знаем, что ВС = 6, МС = √13.
   Применим теорему Пифагора:
   \[BM^2 = BC^2 + MC^2 = 6^2 + (\sqrt{13})^2 = 36 + 13 = 49\]
   Значит, BM = √49 = 7.

Ответ: 7