В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом В ∠C = 30°, BC=5√27. Найдите АС.

Ответ: 10√27

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 30 градусам. Известна длина катета BC, прилежащего к углу C, и нужно найти длину гипотенузы AC.

Используем косинус угла C:

\[ cos C = \frac{BC}{AC} \]

cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), поэтому:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{27}}{AC} \]

Отсюда:

\[ AC = \frac{5\sqrt{27}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 5\sqrt{27} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{\frac{27}{3}} = 10\sqrt{9} = 10 \cdot 3 = 30 \]

\[ AC = \frac{5\sqrt{27}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 5\sqrt{9 \cdot 3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 5 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 10 \cdot 3 = 30 \]

Ответ: 30