23. В прямоугольном треугольнике гипоте- нуза равна 74, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, AB = 74, угол A = 45°.

Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то угол B = 180° - 90° - 45° = 45°.

Следовательно, треугольник ABC - равнобедренный, то есть AC = BC.

По теореме Пифагора:

$$AC^2 + BC^2 = AB^2$$

Так как AC = BC, то

$$2AC^2 = AB^2$$

Выразим AC:

$$AC = \sqrt{\frac{AB^2}{2}} = \frac{AB}{\sqrt{2}} = \frac{74}{\sqrt{2}} = \frac{74\sqrt{2}}{2} = 37\sqrt{2}$$

Площадь прямоугольного треугольника равна:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AC^2 = \frac{1}{2} \cdot (37\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \cdot 37^2 \cdot 2 = 37^2 = 1369$$

Ответ: 1369