24. Высота равностороннего треугольника равна 8√3. Найдите его периметр.

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к стороне, является и медианой, и биссектрисой.

Пусть дана высота BH = 8√3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. Угол BAH = 60°/2 = 30°.

Тогда катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, то есть AH = 1/2 AB.

Пусть AH = x, тогда AB = 2x.

По теореме Пифагора:

$$AH^2 + BH^2 = AB^2$$ $$x^2 + (8\sqrt{3})^2 = (2x)^2$$ $$x^2 + 64 \cdot 3 = 4x^2$$ $$3x^2 = 192$$ $$x^2 = 64$$ $$x = 8$$

Тогда AB = 2x = 2 \cdot 8 = 16.

Периметр равностороннего треугольника равен:

$$P = 3 \cdot AB = 3 \cdot 16 = 48$$

Ответ: 48