В прямоугольном треугольнике про- ведена биссектриса угла, равного 60°. Найдите длину этой биссектрисы, если она короче большего катета на 2 см.

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Ответ: 6 см

Краткое пояснение: Используем тригонометрические соотношения и свойства биссектрисы в прямоугольном треугольнике.

Показать решение

В треугольнике ABD:
\(\frac{AD}{BD}\) = sin(ABD)
AD = BD \(\cdot\) sin(30°) = x \(\cdot\) 0.5 = 0.5x
В треугольнике ABC:
\(\frac{AC}{AB}\) = sin(B)
\(\frac{x+2}{AB}\) = sin(60°) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
AB = \(\frac{2(x+2)}{\sqrt{3}}\)
В треугольнике ABC:
\(\frac{BC}{AB}\) = cos(B)
\(\frac{BC}{AB}\) = cos(60°) = 0.5
BC = 0.5 \(\cdot\) AB = 0.5 \(\cdot\) \(\frac{2(x+2)}{\sqrt{3}}\) = \(\frac{x+2}{\sqrt{3}}\)
AC = AD + DC
DC = AC - AD = (x + 2) - 0.5x = 0.5x + 2
В треугольнике DBC:
\(\frac{DC}{BD}\) = cos(DBC)
\(\frac{0.5x+2}{x}\) = cos(30°) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
0.5x + 2 = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)x
2 = (\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) - 0.5)x
x = \(\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2} - 0.5}\) = \(\frac{4}{\sqrt{3} - 1}\)
Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(\sqrt{3}\) + 1:
x = \(\frac{4(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)}\) = \(\frac{4(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1}\) = 2(\(\sqrt{3}\) + 1)
AC = x + 2 = 2(\(\sqrt{3}\) + 1) + 2 = 2\(\sqrt{3}\) + 4
По теореме Пифагора:
AB² = AC² + BC²
AB² = (2\(\sqrt{3}\) + 4)² + (\(\frac{2\sqrt{3} + 4}{\sqrt{3}}\)²

Ответ: 6 см

Цифровой атлет

Сэкономил время — спас вечер. Иди чиллить, ты это заслужил