10. В равнобедренном треугольнике АВС на боковых сторонах АВ и ВС соответственно отметили точки N и М так, что ∠MAB = ∠NCB. Докажите, что AN = СМ.

Дано: Треугольник ABC - равнобедренный (AB=BC), ∠MAB = ∠NCB. Доказать: AN = CM. Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники ABM и CBN. 2. AB = BC (по условию, т.к. ABC - равнобедренный). 3. ∠MAB = ∠NCB (по условию). 4. ∠A = ∠C (т.к. ABC - равнобедренный). Тогда ∠MBA = ∠NBC (т.к. ∠A - ∠MAB = ∠C - ∠NCB). 5. Следовательно, треугольники ABM и CBN равны по стороне и двум прилежащим углам (AB = BC, ∠MAB = ∠NCB, ∠MBA = ∠NBC). 6. Из равенства треугольников следует, что AM = CN. 7. AN = AB - BN, CM = BC - BM. 8. Так как треугольники ABM и CBN равны, то BM = BN. 9. Следовательно, AN = CM (т.к. AB = BC и BM = BN). Что и требовалось доказать.