6. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом В = 78° проведена биссектриса ВМ, а в треугольнике АВМ проведена биссектриса MD. Найти угол DMC.

Дано:

• Треугольник ABC - равнобедренный, AB=BC.
• Угол B = 78°.
• BM - биссектриса угла B (угол ABM = угол CBM = \(\frac{78°}{2}\) = 39°).
• MD - биссектриса угла ABM (угол AMD = угол DMB = \(\frac{39°}{2}\) = 19.5°).

Найти: угол DMC.

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании AC равны:

Угол BAC = угол BCA = \(\frac{180° - 78°}{2}\) = \(\frac{102°}{2}\) = 51°.

2. Рассмотрим треугольник ABM. Угол BAM = угол BAC = 51°, угол ABM = 39°.

Тогда угол BMA = 180° - (51° + 39°) = 180° - 90° = 90°.

3. Рассмотрим треугольник BMD. Угол DMB = 19.5°, угол BDM = 180°-(угол ABM+угол BAM)

Так как BMA = угол BMD + угол DMA = 90°

Получаем, что угол DMA = 90° - 19.5° = 70,5°

4. Искомый угол DMC = угол BMA - угол BMD

угол DMC = 180° - угол DMA

угол DMC = 180° - 70,5° = 109.5°

Ответ: Угол DMC = 109.5°.