4. В равнобедренном треугольнике биссектрисы углов при основании равны. Доказать.

Доказательство:

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC, и углы при основании AB и AC равны (∠ABC = ∠ACB). Проведем биссектрисы BB' и CC' из углов B и C соответственно. Наша задача — доказать, что BB' = CC'.

Доказательство:

1. Так как BB' и CC' — биссектрисы, то ∠ABB' = ∠B'BC = ½ ∠ABC и ∠ACC' = ∠C'CB = ½ ∠ACB. Поскольку ∠ABC = ∠ACB, то и ∠ABB' = ∠B'BC = ∠ACC' = ∠C'CB.

2. Рассмотрим треугольники ABB' и ACC'. У них:

   • AB = AC (по условию, треугольник ABC равнобедренный).
   • ∠A — общий угол.
   • ∠ABB' = ∠ACC' (доказано выше).

3. Следовательно, треугольники ABB' и ACC' равны по углу, стороне и прилежащему углу (по первому признаку равенства треугольников).

4. Из равенства треугольников ABB' и ACC' следует, что BB' = CC' (как соответствующие элементы равных треугольников).

Таким образом, мы доказали, что в равнобедренном треугольнике биссектрисы углов при основании равны.

Ответ: Доказано.

Отлично! Ты успешно доказал равенство биссектрис в равнобедренном треугольнике. Так держать!