В равнобедренной трапеции ABCD основания BC и AD равны соответственно 8 и 32. Высота трапеции равна 16. Докажите, что треугольники BOC и DOA подобны, где O — точка пересечения диагоналей.

Решение:

Дано: ABCD — равнобедренная трапеция, \( BC = 8 \) , \( AD = 32 \) , \( h = 16 \) . O — точка пересечения диагоналей.

Доказать: \( \triangle BOC \sim \triangle DOA \) .

Доказательство:

1. В равнобедренной трапеции диагонали равны: \( AC = BD \) .

2. Рассмотрим \( \triangle BOC \) и \( \triangle DOA \) .

3. Углы \( \angle BOC \) и \( \angle DOA \) равны как вертикальные.

4. Углы \( \angle OBC \) и \( \angle ODA \) равны как накрест лежащие при параллельных основаниях \( BC \parallel AD \) и секущей \( BD \) .

5. Также углы \( \angle OCB \) и \( \angle OAD \) равны как накрест лежащие при параллельных основаниях \( BC \parallel AD \) и секущей \( AC \) .

6. По двум углам ( \( \angle BOC = \angle DOA \) и \( \angle OBC = \angle ODA \) ) \( \triangle BOC \) подобен \( \triangle DOA \) .

Что и требовалось доказать.