9. В равнобедренной трапеции АВСД диагональ АС перпендикулярна боковой стороне СД. Найдите площадь трапеции, если \(\angle\) САД=30°, АД=12см.

Дано: ABCD - равнобедренная трапеция, AC \(\perp\) CD, \(\angle\) CAD = 30°, AD = 12 см.

Найти: Площадь трапеции ABCD.

Решение:

1. Трапеция равнобедренная, следовательно, \(\angle\)BAD = \(\angle\)CDA.
2. \(\angle\)CDA = 90° - 30° = 60°.
3. Проведем высоту CH. Рассмотрим треугольник CHD - прямоугольный.
4. \(\angle\)HCD = 90° - 60° = 30°.
5. CD = 2HD (катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы)
6. AD = AH + HD, AH = BC (т.к. ABCH - прямоугольник).
7. Пусть HD = x, тогда CD = 2x, AH = BC = AD - HD = 12 - x.
8. Рассмотрим треугольник ACD - прямоугольный: \(AD^2 = AC^2 + CD^2\)
9. \(AC = AD \cdot cos(30°) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\)
10. \(CD = AD \cdot sin(30°) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\)
11. Получаем: 2x = 6, x = 3.
12. Тогда BC = 12 - 3 = 9 см.
13. Площадь трапеции равна \(S = \frac{BC + AD}{2} \cdot CH = \frac{9 + 12}{2} \cdot CH = \frac{21}{2} \cdot CH\)
14. Из треугольника CHD: \(CH = CD \cdot sin(60°) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\)
15. Тогда \(S = \frac{21}{2} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{63\sqrt{3}}{2} = 31,5\sqrt{3}\)

Ответ: \(31,5\sqrt{3}\) см²