В равнобедренной трапеции с основаниями AD и BC угол D равен 61°. Диагональ АС образует со стороной АВ угол 23°. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и меньшим основанием трапеции?

Решение:

В равнобедренной трапеции углы при основании равны, поэтому \( \angle D = \angle C = 61^{\circ} \) и \( \angle A = \angle B \). Сумма углов трапеции равна 360°, а сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. Следовательно, \( \angle A = \angle B = 180^{\circ} - 61^{\circ} = 119^{\circ} \).

Диагональ \( AC \) образует со стороной \( AB \) угол 23°, значит, \( \angle BAC = 23^{\circ} \).

Угол \( \angle A = \angle BAC + \angle CAD = 119^{\circ} \). Тогда \( \angle CAD = 119^{\circ} - 23^{\circ} = 96^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle ADC \). Сумма углов в \( \triangle ADC \) равна 180°. \( \angle ACD = 180^{\circ} - \angle D - \angle CAD = 180^{\circ} - 61^{\circ} - 96^{\circ} = 23^{\circ} \).

Поскольку \( AD \) и \( BC \) параллельны, то \( \angle ACB = \angle CAD = 96^{\circ} \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( AD \) и \( BC \) и секущей \( AC \)).

Угол между диагональю \( AC \) и меньшим основанием \( BC \) — это \( \angle ACB \).

Ответ: 96°.