25. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD - большее основание, BC - меньшее основание. Так как в трапецию можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны, т.е. AB + CD = BC + AD. Периметр трапеции равен 120, значит AB + CD + BC + AD = 120. Следовательно, 2(BC + AD) = 120, то есть BC + AD = 60. Площадь трапеции равна S = (BC + AD) / 2 * h, где h - высота трапеции. Известно, что S = 540, значит 540 = (60 / 2) * h, откуда h = 540 / 30 = 18. Так как трапеция равнобедренная, то высота, опущенная из вершины B на основание AD, делит его на отрезки, разность которых равна разности оснований (AD-BC). Пусть высота BH=18. Так как в трапецию вписана окружность, высота равна 2r. То есть r=9. Следовательно, сторона трапеции AB=CD=30. Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке O. Рассмотрим треугольники BOC и AOD. Они подобны по двум углам. Коэффициент подобия k = BC / AD. Так как BC + AD = 60 и радиус вписанной окружности равен 9, то AB = CD = 30. Следовательно, AD = 36, а BC = 24. Значит, k = 24 / 36 = 2 / 3. Пусть h₁ - высота треугольника BOC, h₂ - высота треугольника AOD. Тогда h₁ / h₂ = k = 2 / 3, и h₁ + h₂ = h = 18. Подставив h₁ = (2 / 3) * h₂, получим (2 / 3) * h₂ + h₂ = 18, то есть (5 / 3) * h₂ = 18, откуда h₂ = 18 * (3 / 5) = 54 / 5 = 10.8. Тогда h₁ = 18 - 10.8 = 7.2. Ответ: Расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания равно 7.2.