В равнобедренную трапецию с боковой стороной c и площадью S вписана окружность радиуса r. Докажите, что S = 2cr.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD с боковой стороной AB = CD = c, площадью S, вписанная окружность радиуса r.

Так как в трапецию вписана окружность, то суммы ее противоположных сторон равны, то есть AB + CD = BC + AD.

Пусть BC = a, AD = b - основания трапеции, тогда c + c = a + b, значит, a + b = 2c.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.

$$ S = \frac{a + b}{2} \cdot h $$

Так как в трапецию вписана окружность радиуса r, то высота трапеции равна двум радиусам, то есть h = 2r.

Тогда:

$$ S = \frac{a + b}{2} \cdot 2r = (a + b) \cdot r $$

Учитывая, что a + b = 2c, получаем:

$$ S = 2c \cdot r = 2cr $$

Что и требовалось доказать.